?

Log in

No account? Create an account
Новое о методе наименьших квадратов - //L
December 13th, 2009
02:44 pm

[Link]

Previous Entry Share Next Entry
Новое о методе наименьших квадратов
Имеется в виду поиск линейной зависимости y=Ax+b, от которой заданный набор пар точек (x,y) удален в наименьшей степени в смысле минимума \sum (y_i - A x_i - B)^2.
Метод давно и широко известный, включая впс. Вроде бы Гаусс даже считал его свои самым выдающимся достижением..
Так вот, к стыду своему обнаружил новое для себя свойство МНК, при этом совершенно естественное и элементарное. Свойство такое: yср.=Axср.+B, где yср., xср. - средние арифметические. И к еще большему стыду обнаружил экспериментальным путем. МНК мне понадобился в моей практической деятельности, вот я и наткнулся на точное равенство там, где рассчитывал лишь увидеть, что расхождение будет невелико.
В оправдание могу сказать, что мне самому об этом свойстве никто и никогда не сообщал, хотя, вроде бы, следовало бы при самом первом ознакомлении.
Получается это тождество так: запишем расширенную матрицу линейной системы для поиска коэффициентов A, B, припишем еще одну строку, совпадающую со строкой, получаемой при дифференцировании целевой функции по B. Определитель такой матрицы, ест-но, д.б. равен 0, раскроем этот определитель по дописанной строчке, указанное равенство нулю и даст искомое тождество.
Для квадратичной зависимости, кстати, финт уже не проходит. Если проделать все те же манипуляции, мы получим (\sum x_i^2)/n там, где должно было бы быть ((\sum x_i)/n)^2

(Leave a comment)

Powered by LiveJournal.com