?

Log in

No account? Create an account
Симметрии, скобки Лагранжа, Пуассона, и всякое такое - //L
August 30th, 2010
09:29 pm

[Link]

Previous Entry Share Next Entry
Симметрии, скобки Лагранжа, Пуассона, и всякое такое
В очередной раз любуясь общим интегралом общего
уравнения в частных производных первого порядка (УЧППП), обратил внимание на
одну забавную симметрию, которая до этого как-то не бросалась в глаза. Причем
произошло это почти что детективным образом :) Как известно, интегрирование
УЧППП (точнее сказать, сведение к ОДУ) начинается с пения осанны
оператору полного дифференцирования




Di = --- + ui --- + uij --- +...
∂xi ∂u ∂uj


Этот оператор, если на него смотреть, как на (как бы) векторное поле - генератор
однопараметрической группы в пространстве с переменными (xi, u, ui,
uij, ..) (пока не фиксируем, докуда продолжать цепочку), обладает
замечательным свойством: он касателен к любому невырожденному многообразию в
этом пространстве! Т.е. этакая универсальная симметрия. В ч., это относится к решениям учп
u=f(x),
ui=gi(x),
(g, ест-но, производная от f). Поэтому если мы возьмем многообразие, на единицу меньшей размерности, чем число независимых переменных - подмногообразие решения (как бы начальные данные ЗК), однопараметрическая группа, отвечающая какому-то из Di, или их комбинации ξiDi, своей орбитой восстановит это решение. И все это совершенно правильно, одна беда - Di если и поле, то в бесконечномерном пространстве, а действие однопараметрической группы это обычное тейлоровское разложение. Но именно для случая УЧППП сделано исключение: поле можно "запихнуть" в конечное число измерений!
Делается это так: имея в виду решить УЧППП F(x, u, u')=0, рассматриваем комбинацию

FuiDi = Fui( --- + ui --- ) + Fuiuij --- +...,
∂xi ∂u ∂uj

замечаем, что коэффициент второго слагаемого, который и портит всю малину, появляется при применении оператора Di к решаемому уравнению (это как раз и есть то самое свойство касательности всему!):
0 = DiF = Fxi + uiFu + uijFuj, откуда
uijFuj = -(Fxi + uiFu), так что

FuiDi = Fui( --- + ui --- ) - (Fxj + ujFu) --- +...
∂xi ∂u ∂uj

и мы понимаем, что счастье возможно.
Это все хорошо известно, впс в т.ч., а в этот раз я заметил, что выражение подозрительно симметрично выглядит относительно пары как будто совсем не похожих операторов
Δi = --- + ui---
∂xi∂u

и
Δi = ---:
∂ui

FuiDi = Δii - Δii.
Тут уж, конечно, всякий штирлиц догадается, что это "жжжж" неспроста. Симметрия еще ярче видна, если взглянуть на действие оператора: ΔiiG - ΔiiG - просто вылитая скобка Пуассона. Собс-но, если функции F, G не зависят от u, это в точности она и есть (а без этого - кажется, именуется скобкой Лагранжа), и тут уж как не вспомнить преобразование Лежандра! Преобразование Лежандра (вот оно:
xi' = ui,
u' = xiui - u,
ui' = xi
) меняет местами xi и ui, и я какое-то время не мог сообразить (осознать), что механически думаю, будто оно точно так же поступает и с базисными векторами касательного расслоения:
---
∂xi

меняется местами с
---,
∂ui

т.е. с Δi. Ну, собс-но, на этом, практически, и конец истории, т.к. тут стоило вообще лишь обратить внимание на, и стало ясно, что преобразование Лежандра именно что меняет местами Δi и Δi и, стало быть, эти два оператора, хотя и имеют разную историю, но с точностью до обозначений суть одно и то же. Это и есть мое маленькое открытие :)
Кое-что меня в этом слегка беспокоит: хотя Δi и Δi с точностью до обозначений суть одно и то же, но историю-то все же они имеют разную. Чего-то я пока не догоняю.

(Leave a comment)

Powered by LiveJournal.com