?

Log in

No account? Create an account
Метод обратной задачи рассеяния - 1 - //L
May 1st, 2012
03:26 pm

[Link]

Previous Entry Share Next Entry
Метод обратной задачи рассеяния - 1
В продолжение ранее затронутой темы. Попробую а) изложить, что мне известно о методе обратной задачи рассеяния (МОЗР), с тем чтобы выявить б) чего же я, собс-но, не понимаю в этом методе.
Значит, так, началось все с уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ)

ut-6uux+uxxx=0. (1)

Без шестерки, ясное дело, можно обойтись, но так как-то принято, что везде пишут с ней.
Основное свойство КдФ, видимо, в том, что оно является условием совместности системы

ψxx-(u-λ)ψ=0, (2)
ψtxxx-3(u+λ)ψx=0. (3)

Имеется в виду, что система (2), (3) рассматривается относительно ψ, а u(t, x) и λ (константа) - параметры.
Nota bene: тема эта (МОЗР), похоже, мало что не избавилась от исходного строительного мусора (лесов), так еще и, наоборот, по ходу обросла, яко днище корабля. Я к тому, что буду стараться избавляться от несущественных деталей.
Изложу, как (1) получить из (2), (3). Вначале (2) продифференцируем по x:

ψxxx=uxψ+(u-λ)ψx,

это дело подставим в (3):

ψt+uxψ+(u-λ)ψx-3(u+λ)ψx=0,

приведем подобные

ψt+uxψ-2uψx-4λψx=0.

Продифференцируем по x:

ψtx+uxxψ+uxψx-2uxψx-2uψxx-4λψxx=0,

приведем подобные

ψtx+uxxψ-uxψx-2uψxx-4λψxx=0.

Еще раз продифференцируем по x:

ψtxx+uxxxψ+uxxψx-uxxψx-uxψxx-2uxψxx-2uψxxx-4λψxxx=0

и еще раз приведем подобные

ψtxx+uxxxψ-3uxψxx-2uψxxx-4λψxxx=0 (4).

Теперь продифференцируем по t (2):

ψtxx-utψ-(u-λ)ψt=0.

Отсюда и из (4), избавляясь от ψtxx, получаем

uxxxψ-3uxψxx-2uψxxx-4λψxxx=-utψ-(u-λ)ψt.

ψt заменяем из (3):

uxxxψ-3uxψxx-2uψxxx-4λψxxx=-utψ-(u-λ)(-ψxxx+3(u+λ)ψx).

Немножко попреобразуем:

(ut+uxxx)ψ-3uxψxx-3uψxxx+3(u22x=4λψxxx-λψxxx,
(ut+uxxx)ψ-3uxψxx-3(u+λ)ψxxx+3(u22x=0,
(ut+uxxx)ψ-3((u+λ)ψxx)x+3(u22x=0.

Заменим ψxx из (2):

(ut+uxxx)ψ-3((u22)ψ)x+3(u22x=0.

Раскрываем второй член:

(ut+uxxx)ψ-6uux-3(u22x+3(u22x=0,

откуда, приводя подобные,

(ut-6uux+uxxx)ψ=0.

Так же тупо не получается, но таки верно, что все следствия из (2), (3) сводятся к указанному соотношению или его дифференциальным следствиям. Т.о., если u решение (1), подставив его в (2), (3), мы получим совместную систему для ψ (она, как легко видеть, вообще-то переопределена). Пишут, что в этом-то, что нужное уравнение (1) является условием совместности переопределенной _линейной_ системы (2), (3), все и дело, но у меня сомнения: непонятно, и что с того? Да, можно два решения (2), (3), ψ1 и ψ2, отвечающих одному и тому же u, сложить, даже и с множителями-константами, ну и? Решение нужного-то так и останется одно..
А вот, напротив, важный (по-моему) момент: система (2), (3) содержит параметр, от которого не зависит условие совместности, т.е. уравнение (1). Этот параметр весьма существенно задействован в механике метода; хотя, с другой стороны, в одной из статей Манакова говорилось, чтобы без него (параметра т.е.) можно и обойтись. Но т.к. статью я не понял (для понимания вначале надо знать МОЗР, а с этим, как уже было сказано, проблемы :), то оставим тему на попозже.
Для первого поста, думаю, достаточно. Намечу только общими словами, как же. Смысл такой: уравнение (2), как легко видеть, одномерное стационарное уравнение Шредингера, в котором u играет роль рассеивающего потенциала. Ест-но, имея потенциал, мы можем построить решение УШ, куда менее очевидно, что по относительно небольшому числу параметров решений УШ специального вида, а именно, рассеяние плоской волны, налетающей из бесконечности - параметр, о котором идет речь, это коэффициент прохождения. Так вот,зная коэффициент прохождения для всех длин волн (вот зачем нужен параметр!), мы можем восстановить рассеивающий потенциал! Ну и, для комплекта: зависимость коэффициента прохождения от времени (имеется в виду время, которое входит в КдФ - это совсем не то время, которое в УШ!) имеет очень простой вид (задействуется уравнение (3)). В итоге схема такая: берем начальное значение u(0, x), для него рассчитываем коэффициенты прохождения в зависимости от длины волны, вычисляем значения этих коэффициентов на момент времени t, и по ним восстанавливаем потенциал, т.е. u(t, x), решая таким образом задачу Коши для КдФ. Как-то так.

(Leave a comment)

Powered by LiveJournal.com