?

Log in

No account? Create an account
Очевидно или нет. Дидактическое. - //L
April 23rd, 2016
10:57 am

[Link]

Previous Entry Share Next Entry
Очевидно или нет. Дидактическое.
Продолжаю почитывать старого норвежского тролля старого мудрого норвежца. Встретился один, я бы сказал, методологически поучительный :) пассажик:

Чтобы пояснить отличие этой задачи интегрирования от обычной, мы сначала в общих чертах разовьем теорию интегрирования линейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка:
X(x,y,z)*p+Y(x,y,z)*q-Z(x,y,z)=0. (37)
Из ∞4 элементов x,y,z,p,q, которые определены уравнением (37), мы рассмотрим ∞1, имеющих одну и ту же точку x,y,z. ∞1 плоскостей
p*(ξ-x)+q*(η-y)-(ζ-z)=0
этих ∞1 элементов образуют пучок, осью которого является прямая
(ξ-x)/X(x,y,z)=(η-y)/Y(x,y,z)=(ζ-z)/Z(x,y,z).
Если теперь предположить, что каждой точке x,y,z пространства ось соответствующего пучка поставлена в соответствие как направление движения, то получим в качестве аналитического определения этих направлений движения систему обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно, следующую:
dx/X(x,y,z)=dy/Y(x,y,z)=dz/Z(x,y,z). (38)
Очевидно, что всякий элемент поверхности x,y,z,p,q любой интегральной кривой этой системы удовлетворяет уравнению (37); следовательно, ∞2 интегральных кривых системы (38), понимаемые как элемент-многообразия, суть элемент-многообразия M2 уравнения (37).
Если из ∞2 интегральных кривых уравнения (38) выбрать согласно какому-либо аналитическому закону ∞1 различных, то о°ч°е°в°и°д°н°о
(разрядка моя - ГН), что все элементы поверхности, образованной этими ∞1 кривыми, опять-таки удовлетворяют уравнению (37); следовательно, эта поверхность является элемент-многообразием M2 уравнения (37).
Это соответствует утверждению Лагранжа о том, что любая поверхность, порожденная ∞1 интегральными кривыми системы (38), является интегральной поверхностью дифференциального уравнения в частных производных (37).

Задумался.
Не, оно, конечно, очевидно. Хотя бы потому, что (37) без труда опознается как условие касательности поля (38) к поверхности z=f(x,y). Но очевидно это очевидно не то очевидно :) Автор(ы) хотел(и) продемонстрировать мощь и гибкость элементферайнов (Elementverein, в цитируемом переводе элементмногообразие), а вот с этим как-то не того.. не так уж ясно, я бы сказал. Элементферайн, напомню есть то, что удовлетворяет -dz+p*dx+q*dy=0, безотносительно виду этого в пространстве переменных (x,y,z); когда вид "обычный", т.е. z=f(x,y), получаем продолжение (джет) z=f, p=∂f/∂x, q=∂f/∂y. На языке элементферайнов это элементферайн первого типа, элементферайны второго и третьего типа получаем в вырожденных случаях. Если в переменных (x,y,z) это кривая x=ξ(t), y=η(t), z=ζ(t), в надстройке (p,q) получаем одно условие -ζ'+ξ'*p+η'*q=0, а когда сжимаемся до одной точки x=x0, y=y0, z=z0, в (p,q) не остается никаких ограничений, эти переменные могут принимать любые значения. В любом случае получаем две степени свободы.
Так вот, выделенное "следовательно" подразумевает операцию склейки элементферайна первого типа из элементферайнов второго типа; ранее (довольно мутно, на мой взгляд) в тексте выражена мысль о том, что уравнение (37) не что иное, как определение элементферайна второго типа. Вот если к этой (прямо выраженной!) мысли добавить склейку, то в самом деле можно сделать изложение очевидным. Беда только, что все это опущено (а явно описанную возможность такого составления элементферайнов я вообще не видел в цитиуемом тексте)

(Leave a comment)

Powered by LiveJournal.com