?

Log in

No account? Create an account
О странном - //L
April 30th, 2016
04:17 pm

[Link]

Previous Entry Share Next Entry
О странном
Снова норвежские чтения.
На одной из страничек видим:

Основу теории групп функций составляет важная
Теорема 19. Если r независимых функций u1,...,ur от x1,...,xn,p1,...,pn задают r-параметрическую группу функций, то r линейных дифференциальных уравнений в частных производных
(u1,f) = 0,...,(ur,f) = 0
от независимых переменных x1,...,xn,p1,...,pn образуют r-параметрическую полную систему.

Чтобы это доказать, мы сначала заметим, что r только что записанных дифференциальных уравнений являются независимыми друг от друга; если бы это было не так, то все определители вида
Σ±∂u1/∂π1*...*∂ur/∂πr
обращались бы в нуль тождественно (под π1...πr понимаются некоторые r из 2n переменных x,p), следовательно u1,...,ur вопреки условию теоремы не были бы независимыми друг от друга. Затем мы положим
(uμ,f) = Aμ(f) (μ=1,...,r)
и получим
Aμ(Aν(f)) - Aν(Aμ(f)) = (uμ,(uν,f)) - (uν,(uμ,f))
или, в силу
тождества Якоби,
Aμ(Aν(f)) - Aν(Aμ(f)) = ((uμ,uν),f).
Но тогда имеют место уравнения
(uμ,uν) = wμν(u1,...,ur) (μ, ν = 1,...,r)
то есть выполняется
Aμ(Aν(f)) - Aν(Aμ(f)) = (wμν,f) = Σj=1r(∂wμν/∂uj)Aj(f).
Тем самым теорема доказана.
Теперь допустим, что нам даны в переменных x1,...,xn,p1,...,pn какие-либо r независимых функций u1,...,ur, задающих r-параметрическую группу функций. Тогда r-параметрическая полная система
(u1,f) = 0,...,(ur,f) = 0
имеет 2n - r независимых решений. Если v1,...,v2n - r - такие решения, то можно представить любое другое решение как функцию только от v1,...,v2n - r. Из
теоремы Пуассона (см. стр. 199) следует далее, что вместе с v1,...,v2n - r каждая скобка (vϰ,vj) также является решением полной системы. Согласно этому, все (vϰ,vj) являются функциями от v1,...,v2n - r, а все v1,...,v2n - r задают в свою очередь (2n - r)-параметрическую группу функций.

На протяжении 3 абзацев один и тот же предмет именуется вначале тождеством Якоби, а затем теоремой Пуассона, причем второй раз с указанием, где в авторском тексте про это сказано. Вот что при этом двигало авторами?? загадко

(Leave a comment)

Powered by LiveJournal.com