?

Log in

No account? Create an account
Баку-88. Пару слов к лемме Дарбу. - //L
March 28th, 2007
08:04 pm

[Link]

Previous Entry Share Next Entry
Баку-88. Пару слов к лемме Дарбу.
Разгребая в очередной раз свои бумаги, наткнулся на четыре листочка полупрозрачной, почти что папиросной бумаги отпечатанного на пишущей машинке текста. Привет, так сказать, из позапрошлой жизни.. Не сразу вспомнил, что когда-то был владельцем пишущей машинки :), но сразу же вспомнился город Баку 1988 года, где мой шеф, Наиль Хайруллович Ибрагимов проводил свой очередной коллоквиум по групповому анализу, в котором участвовал и я, тогда аспирант МФТИ первого года. Характерный восточный привкус, уютный, но какой-то слегка сумрачный город. Сразу же выученное слово "Китаб" (интересно было покопаться на тамошних книжных развалах). Запомнилась еще очень теплая погода, и я с некоторым удивлением установил, что это был, оказывается, уже ноябрь. А ведь даже в море купались.

Я тогда подготовил свое сообщение, но, по правде сказать, до самого момента выступления не мог решиться, докладывать мне или нет. Как сейчас помню - спросил у шефа, стоит ли, на что получил вполне резонный ответ "Ну это Вы сами решайте". В итоге мое выступление было отмечено как самое короткое :). Кажется, я уложился в три минуты.

Перечитав свои тогдашние опыты, подумал, что тема той работы выглядит небезынтересной - некоторое, правда, весьма слабое обобщение леммы Дарбу о приведении произвольной дифференциальной формы к каноническому виду. Посему решил выложить эту статью здесь. Вдруг кого-то заинтересует; до этого работа публиковалась только в материалах коллоквиума (ну и еще в диссертации). На днях постараюсь выкроить время, чтобы сделать некоторые пояснения.

УДК 517.958

Г.В.Нестеренко



ГРУППОВОЕ СВОЙСТВО ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ.




Рассматривается система уравнений вида

∂ui
ωsi(u)----sk(x), (1)
∂xk

i, k = 1,...,n, s = 1,...,m,

которая иначе записывается


ωsiduiskdxk (2)

Система (1) может быть проинтерпретирована следующим образом: ищется отображение

u=u(x): Rn->Rn, (3)

которое преобразует дифференциальную форму Ωskdxk в форму ωsidui. К такого рода задаче приводит вопрос о существовании преобразования, переводящего одну заданную систему дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных) в другую: дифференциальные уравнения задаются соответствующими пфаффовыми системами [1, с.290], с учетом произвола такого задания. По-видимому, система (1) в общем виде мало изучена. Имеются, однако, два частных хорошо исследованных случая.
Это, во-первых, тот случай, когда формы ωsidui и Ωskdxk описывают одну и ту же систему дифференциальных уравнений, а преобразования (3) образуют группу Ли. При этих условиях (1) выделяет допустимую системой группу точечных (или контактных для скалярной искомой функции) преобразований в смысле С.Ли.
Во-вторых, система (1) изучена для случая, когда индекс s пробегает только одно значение:

∂ui
ωi(u)----k(x) (4)
∂xk


или

ωiduikdxk. (5)

Легко видеть, что этот случай эквивалентен классической задаче приведения пфаффовой формы к каноническому виду [1, с.146], [2, сс. 166, 168].
В предлагаемой работе описано некоторое групповое свойство, которому удовлетворяет система (1). По отношению к этому свойству особо выделяется случай (4). Вначале будет рассмотрен именно этот случай.
Для дальнейшего изложения потребуются некоторые обозначения:

∂ωj∂ωi
ωij=--------- (6)
∂ui∂uj

символ ωi1...ia вводится следующим образом: для a=2b

ωi1...iadui1^...^duia=(ωi1j1dui1^duj1)^...^(ωibjbduib^dujb), (7)

для a=2b+1

ωi1...iadui1^...^duia=(ωi1j1dui1^duj1)^...^(ωibjbduib^dujb)^(ωib+1duib+1) (8)

(в [2] форма ωi1...iadui1^...^duia/b! названа внешним дифференциалом a-1 - го порядка формы ωidui [2, с.165]).

ТЕОРЕМА 1.

При

Ω1...n≠0, ω1...n≠0 (9)

система (4) допускает однопараметрическую группу с оператором

11
X=--------2...n∂x1-...+(-1)n-1Ω1...n-1∂xn}+--------2...n∂u1-...+(-1)n-1ω1...n-1∂un}. (10)
Ω1...nω1...n

Всякое решение системы (4) является инвариантным по отношению к этой группе.

Доказательство.

Первая часть теоремы проверяется непосредственно. Доказательство второй части проводится отдельно для случаев n=2b и n=2b+1.

Пусть n=2b. Внешнее дифференцирование равенства (5) приводит к

ωijdui^dujkldxk^dxl (11)

b-1 -я внешняя степень равества (11), будучи внешним образом умножена на (5), даёт

ω2...ndu2^...^dun13...ndu1^du3^...^dun+...+ω1...n-1du1^...^dun-12...ndx2^...^dxn13...ndx1^dx3^...^dxn+...+Ω1...n-1dx1^...^dxn-1. (12)

Расщепление равенства (12) по dx2^...^dxn, ..., dx1^...^dxn-1 приводит к системе

∂(u2,...,un)∂(u1, u3,...,un)∂(u1,...,un-1)
ω2...n------------13...n---------------+...+ω1...n-1--------------2...n,
∂(x2,...,xn)∂(x2,...,xn)∂(x2,...,xn)


∂(u2,...,un)∂(u1, u3,...,un)∂(u1,...,un-1)
ω2...n----------------13...n----------------+...+ω1...n-1----------------13...n,
∂(x1, x3,...,xn)∂(x1, x3,...,xn)∂(x1, x3,...,xn)

........................................................................................................................... (13)
∂(u2,...,un)∂(u1, u3,...,un)∂(u1,...,un-1)
ω2...n--------------13...n---------------+...+ω1...n-1--------------1...n-1.
∂(x1,...,xn-1)∂(x1,...,xn-1)∂(x1,...,xn-1)

Далее следует умножить первое из уравнений (13) на ∂ui/∂x1, второе уравнение на - ∂ui/∂x2 и так далее, n-е уравнение на (-1)n-1∂ui/∂xn и сложить. Эта сумма является условием инвариантности функции u=u(x) относительно группы с оператором (10), если учесть, что b-я степень уравнения (11) дает
∂(u1,...,un)Ω1...n
-----------=-------. (14)
∂(x1,...,xn)ω1...n

Отличия в доказательстве для случая n=2b+1 естественны и очевидны.

Теорема 1 может быть использована для построения всех решений системы (4): последовательно n-1 раз делается переход к факторсистеме относительно описываемой теоремой группы. Таким образом, эта теорема дополняет известные классические методы канонизации пфаффовой системы, которые упоминались ранее.

Прежде чем перейти к общему случаю системы (1), хочется сделать несколько замечаний. Оператор (10) (как и вводимый ниже оператор (20)), как легко видеть, является суммой двух других, один в пространстве переменных x и зависит только от формы Ωkdxk, второй в пространстве переменных u и зависит только от формы ωidui, причем эта зависимость

ℑ (15)

операторов от форм в обоих случаях одна и та же.

Можно проверить, что отображение ℑ удовлетворяет следующим свойствам: 1) оно ставит в соответствие ковекторному полю векторное поле (аналогичное свойство имеет место и для оператора (20)), 2) при n=2b векторное поле является характеристическим для формы [1, с.81]. Другое замечание касается условия существования векторного поля, в теореме 1 обозначенного (9). Это условие означает, что класс формы, то есть наименьшее число переменных, через которые форма может быть выражена, равен n [2, с.165].

Для изложения результата, касающегося общего случая, потребуются некоторые новые обозначения. Большие латинские буквы используются следующим образом:

I=(kI1, kI2,..., kIm), |I|=kI1+ kI2+...+ kIm. (16)

Как и раньше,

∂ωsj∂ωsi
ωsij=---------, (17)
∂ui∂uj

символ ωI,Ji1...ia, где a=2|I|+|J|, понимается так:

ωI,Ji1...iadui1^...^duia=(ω1i1j1dui1^duj1)^...^(ω1ikI1jkI1duikI1^dujkI1)
^...^(ωmp1r1dup1^dur1)^...^(ωmpkImrkImdupkIm^durkIm)^(ω1t1dut1)^...^(ω1tkJ1dutkJ1)
^...^(ωmq1duq1)^...^(ωmqkJmduqkJm). (18)

ТЕОРЕМА 2.

Если

ΩI,J1...n≠0, ωI,J1...n≠0 (19)

для каких-то I, J, то всякое решение системы (1) является инвариантным по отношению к каждой из однопараметрических групп с оператором

11
XK, L=----------K, L2...n∂x1-...+(-1)n-1ΩK, L1...n-1∂xn}+----------K, L2...n∂u1-...+(-1)n-1ωK, L1...n-1∂un}. (20)
ΩI, J1...nωI, J1...n

Доказательство аналогично доказательству второй части теоремы 1.

Вкратце подводя итог и отвлекаясь от рассмотрения особых случаев, можно сказать следующее: существует набор однопараметрических групп преобразований, таких, что по отношению к каждой из них все решения системы (1) инвариантны. В частном случае системы (4) набор вырождается в единственную группу, которая допускается системой.

Автор выражает благодарность Н.Х.Ибрагимову и Е.В.Ферапонтову за полезные обсуждения.

Литература.

1. П.К.Рашевский. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: Государственное издательство научно-технической литературы, 1947 г.

2. С.П.Фиников. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.: Государственное издательство научно-технической литературы, 1948 г.

(Leave a comment)

Powered by LiveJournal.com