?

Log in

No account? Create an account
О теореме Беклунда. - //L
April 18th, 2007
08:08 pm

[Link]

Previous Entry Share Next Entry
О теореме Беклунда.
Есть такая теорема Беклунда. Пришла мне тут в голову мысль, что тема может быть продолжена.
Упомянутая теорема относится к разряду губозакаточных машинок, основное предназначение - чтобы народ не ложился костьми в тщетных попытках отыскать нечто очень привлекательное, но, увы, несуществующее.
Наверное, едва ли не в каждом разделе знания существуют свои философские камни - нечто такое, что ежели бы этого получить в руки, сразу же радикально улучшилась бы жизнь. Вот как, собственно, философский камень.. или панацея, или вечный двигатель. Не всегда, кстати, такие вещи оказываются невозможными - вот, к примеру, топливный элемент называют философским камнем физхимии, и это вполне себе реалистично.
В данном случае (теория учп) в роли вечного двигателя выступают т.н. высшие контактные отображения. Фишка тут следующая: интерпретируем диффур (обыкновенный или в частных производных) как поверхность (многообразие) в пространстве с координатами x, y, y1, y2,..., yk, где x=(x1, x2,...,xn) - независимые переменные, y=(y1, y2,...,ym) - зависимые, y1=(∂y1/∂x1,...,∂ym/∂xn), y2=(∂2y1/∂x1∂x1,...,∂2ym/∂xn∂xn),... - координаты для производных (расслоение джетов). Интересуемся преобразованиями пространства Ek с этими координатами, которые бы переводили в себя точки нашего многообразия-диффура. Если не брать во внимание специфику пространства, то вопрос об отыскании таких преобразований можно счесть тривиальным; специфика же состоит в том, что нам хочется, чтобы наши преобразования из подмногообразий y=f(x), y1=g(x),..., yk=h(x) - решений нашего диффура-многообразия делали бы новые решения. Решение в рамках такого подхода это а) подмногообразие многообразия-диффура нужной размерности б) такое, что правые части f(x), g(x),..., h(x) связаны соотношениями: каждый следующий набр функций получается из предыдущего (типа g из f) дифференцированием; и тривиально удовлетворить только первый пункт, т.е. чтобы из подмногообразия вновь получилось подмногообразие же. А вот второе свойство, т.е. чтобы производные были в самом деле производными, порушится, если только не принять меры. Указанное второе свойство с использованием дифференциальных форм запишется в виде: подмогообразие нужной размерности есть решение, если на нем обнулятся формы dy-y1·dx, dy1-y2·dx,...,dyk-1-yk·dx; вот именно это (обнуление форм) и должно сохраняться.
Вечный двигатель (или, если хотите, философский камень) - найти "толстое" множество преобразований со свойством б). Тогда можно будет надеяться, что у любого наперед взятого диффура окажется много симметрий, т.е. способов из одного решения сделать много. А также - что любой наперед взятый диффур можно будет преобразовать к более симпатичной форме. И это не совсем маниловщина; когда m=k=1 (одно уравнение с частными производными первого порядка), то примерно так оно и есть: симметрий так много, что явно и просто выписывается общий интеграл (связь симметрий с интегрированием б.-м. понятна), да и различные учп выбором координат приводятся к наиболее простому виду (все это ест-но локально; рассмотрение в целом делает картину несколько менее тривиальной). Можно сказать, что в случае учп первого порядка все проблемы сводятся к интегрированию оду, и заслугу вполне можно приписать факту существования достаточно широкого класса контактных преобразований. Дык вот очень-очень хотелось бы, чтобы и на более высоких размерностях существовало что-то похожее. Но увы - хотя, наверное (я так думаю :), попытки предпринимались, и не одним серьезным математиком, кроме отдельных исключительных случаев (в т.ч. уравнения с одинаковой главной частью) ничего сколько-нибудь похожего мы на сегодняшний день не имеем. Что вряд ли может быть случайным, и должно быть нечто, кардинально отличающее случай учп 1-го порядка от остальных учп.
Теорему Беклунда в каком-то смысле можно считать одной из формулировок этого нечто. Она сильно ограничивает нужный нам класс отображений, которые бы сохраняли вышевыписанные дифференциальные формы, другими словами, таких, которые бы сохраняли смысл координаты для производной. А именно: эта теорема говорит, что у задачи найти преобразования (x, y, y1, y2,..., yk), сохраняющие dy-y1·dx=0, dy1-y2·dx=0,...,dyk-1-yk·dx=0 есть только тривиальное решение: взять преобразование независимых и зависимых переменных (x, y): x'=ξ(x,y), y'=η(x,y), и из него выстроить преобразование для первых производных, вторых и т.д. (какие понадобятся). Если _правильно_ интерпретировать обозначения, то выражение для отображения первых производных запишется так: y1'=dη(x,y)/dξ(x,y)=ζ1(x,y,y1) (последнее равенство - просто определение функции ζ1), вторых - y2'=dζ1(x,y,y1)/dξ(x,y)=ζ2(x,y,y1,y2)... и т.д. Существенный момент: градуированность выражений; зависимость от старших производных появляется в выражениях, описывающих преобразования для них же. Контактные преобразования (тот самый случай первого порядка, о котором я говорил выше) в этом смысле выглядят "равноправными" по отношению к задействованным координатам: x'=ξ(x,y,y1), y'=η(x,y,y1), y1'=ζ1(x,y,y1). Функции ξ, η, ζ1, правда, не являются совсем уж произвольными, они (все три) выражаются через одну функцию, но эта одна функция - произвольная функция всех трех групп переменных (x,y,y1), и этого произвола оказывается достаточно (в указанном выше смысле). В отличие от в общем случае произвол определяется бОльщим числом функций, но эти функции лишь от независимых и зависимых переменных (тут есть один нюанс, на котором не хочется останавливаться). Хилый, короче говоря, произвол, соответственно, и полезный продукт на выходе совершенно несравнимый.
Это все, разумеется, хорошо и давно известно. Однако, по-моему, у темы есть развитие, которое я не встречал. А именно: существует конструкция, называемая дифференциальной подстановкой. Грубо говоря, это когда мы вместо x'=ξ(x,y), y'=η(x,y) возьмем x'=ξ(x,y,y1), y'=η(x,y,y1), т.е. заставим выражения для преобразования независимых и зависимых переменных включать также и производные; тогда, считая как выше, мы увидим, что y1'=ζ1(x,y,y1,y2), y2'=ζ2(x,y,y1,y2,y3),... и т.д. Что существенно - ни на каком шаге мы не получим формулы преобразований какого бы то ни было (конечномерного) пространства, всегда будут "лишние" переменные. Это все тоже известно, а вот неизвестное: может ли быть вот так - x'=ξ(x,y,y1,y2), y'=η(x,y,y1,y2), y1'=ζ1(x,y,y1,y2), ну а уже y2'=ζ2(x,y,y1,y2,y3). Т.е. преобразований никакого пространства мы не получаем, но.. такой вот промежуточный вариант.
Понятно, что этот вопрос не такой интересный (всяко не философский камень :), но с чисто познавательной т.з. тоже любопытно.

(Leave a comment)

Powered by LiveJournal.com